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Exercice 451

  1. Démontrer que si et alors et si .
  2. Montrer que ,
  3. En déduire : entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra utiliser la propriété : pour tout réel , il existe un entier tel que .)



Exercice 452 Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des décimaux ?
,     ,     ,     ,     ,     ,     ,    
,     ,     ,     ,     .

Exercice 453[Un procédé géométrique d'approximation de ] Dans le plan , on porte sur une suite de points et sur une suite de points , construites de la manière suivante :

(i)
et ,

(ii)
,

(iii)
(le rectangle de côtés et a pour aire 2).
  1. Représentez cette suite de rectangles de côtés et .
  2. Démontrez successivement que : ; décroissante ; croissante.
  3. Calculez en fonction de et . Montrez que l'on a l'inégalité :

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  4. Calculez les premiers termes de la suite . Combien de décimales exactes de obtenez-vous à chaque pas ? Utilisez l'inégalité précédente pour montrer que le nombre de décimales exactes obtenues double grosso modo à chaque pas.

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Exercice 454 Calculer avec une calculette :    et Expliquer le résultat.

Exercice 455 On considère les nombres rationnels inférieurs à . Y a-t-il un nombre rationnel juste avant , plus grand que tous les nombres rationnels inférieurs à ?

Une suite de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ?

Une suite de nombres décimaux a-t-elle pour limite un nombre décimal ?

Exercice 456 Soient et deux rationnels positifs tels que et soient irrationnels. Montrer que est irrationnel.

Exercice 457 Soit . On suppose que tous les sont des entiers.

  1. Montrer que si a une racine rationnelle alors divise et divise .

  2. On considère le nombre . En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d'un polynôme de degré 2. En déduire, à l'aide du résultat précédent qu'il n'est pas rationnel.



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236 Bruma Bruma Basket Espadrille Mode Mode Basket Exercice 458 Trouver sous la forme des rationnels dont les dévelopements décimaux périodiques sont donnés par :



Exercice 459

  1. Soit ( fois). Mettre sous la forme avec .
  2. Soit Donner le rationnel dont l'écriture décimale est .
  3. Même question avec :



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Exercice 460 Montrer que l'ensemble est dense dans .
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Exercice 461 Montrer que est irrationnel.


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Exercice 462 Soit , montrer :

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Bruma Espadrille Basket Bruma Mode Mode 236 Basket Indication : considérer les parties fractionnaires de et la partition de

Exercice 463 Montrer que l'ensemble des nombres dyadiques :

est dense dans .
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Arnaud Bodin 2004-06-24