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Exercice 451

1. Démontrer que si et alors et si .
2. Montrer que ,
3. En déduire : entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra utiliser la propriété : pour tout réel , il existe un entier tel que .)

Exercice 452 Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des décimaux ?
,     ,     ,     ,     ,     ,     ,    
,     ,     ,     ,     .

Exercice 453[Un procédé géométrique d'approximation de ] Dans le plan , on porte sur une suite de points et sur une suite de points , construites de la manière suivante :

(i)

et ,

(ii)

,

(iii)

(le rectangle de côtés et a pour aire 2).

1. Représentez cette suite de rectangles de côtés et .
2. Démontrez successivement que : ; décroissante ; croissante.
3. Calculez en fonction de et . Montrez que l'on a l'inégalité :
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4. Calculez les premiers termes de la suite . Combien de décimales exactes de obtenez-vous à chaque pas ? Utilisez l'inégalité précédente pour montrer que le nombre de décimales exactes obtenues double grosso modo à chaque pas.

Exercice 454 Calculer avec une calculette :    et Expliquer le résultat.

Exercice 455 On considère les nombres rationnels inférieurs à . Y a-t-il un nombre rationnel juste avant , plus grand que tous les nombres rationnels inférieurs à ?

Une suite de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ?

Une suite de nombres décimaux a-t-elle pour limite un nombre décimal ?

Exercice 456 Soient et deux rationnels positifs tels que et soient irrationnels. Montrer que est irrationnel.

Exercice 457 Soit . On suppose que tous les sont des entiers.

1. Montrer que si a une racine rationnelle alors divise et divise .

2. On considère le nombre . En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d'un polynôme de degré 2. En déduire, à l'aide du résultat précédent qu'il n'est pas rationnel.

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Femme VTT VAUDE TR de Chaussures Aresa Exercice 458 Trouver sous la forme des rationnels dont les dévelopements décimaux périodiques sont donnés par :

Exercice 459

1. Soit ( fois). Mettre sous la forme avec .
2. Soit Donner le rationnel dont l'écriture décimale est .
3. Même question avec :

Exercice 460 Montrer que l'ensemble est dense dans .
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Exercice 461 Montrer que est irrationnel.

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Exercice 462 Soit , montrer :

Exercice 463 Montrer que l'ensemble des nombres dyadiques :