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Exercice 451
- Démontrer que si et alors et si .
- Montrer que ,
- En déduire : entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra utiliser la propriété : pour tout réel , il existe un entier tel que .)
Exercice 452 Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des décimaux ?
, , , , , , ,
, , , , .
Exercice 453[Un procédé géométrique d'approximation de ] Dans le plan , on porte sur une suite de points et sur une suite de points , construites de la manière suivante :
-
(i)
-
et ,
-
(ii)
- ,
-
(iii)
-
(le rectangle de côtés et a pour aire 2).
- Représentez cette suite de rectangles de côtés et .
- Démontrez successivement que : ; décroissante ; croissante.
- Calculez en fonction de et . Montrez que l'on a l'inégalité :
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- Calculez les premiers termes de la suite . Combien de décimales exactes de obtenez-vous à chaque pas ? Utilisez l'inégalité précédente pour montrer que le nombre de décimales exactes obtenues double grosso modo à chaque pas.
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Exercice 454 Calculer avec une calculette : et Expliquer le résultat.
Exercice 455 On considère les nombres rationnels inférieurs à . Y a-t-il un nombre rationnel juste avant , plus grand que tous les nombres rationnels inférieurs à ?
Une suite de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ?
Une suite de nombres décimaux a-t-elle pour limite un nombre décimal ?
Exercice 456 Soient et deux rationnels positifs tels que et soient irrationnels. Montrer que est irrationnel.
Exercice 457 Soit . On suppose que tous les sont des entiers.
- Montrer que si a une racine rationnelle alors divise et divise .
- On considère le nombre . En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d'un polynôme de degré 2. En déduire, à l'aide du résultat précédent qu'il n'est pas rationnel.
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Chaussures Femme de VTT Aresa VAUDE TR Exercice 458 Trouver sous la forme des rationnels dont les dévelopements décimaux périodiques sont donnés par :
Exercice 459
- Soit ( fois). Mettre sous la forme avec .
- Soit Donner le rationnel dont l'écriture décimale est .
- Même question avec :
- Dessus: Synthétique
- Doublure: Textile
- Semelle intérieure: Synthétique
- Matériau de semelle: Synthétique
- Semelle intérieure amovible: true
- Type de talons: Plat
- Fermeture: Lacets autobloquants
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Exercice 460 Montrer que l'ensemble est dense dans .
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Exercice 461 Montrer que est irrationnel.
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Exercice 462 Soit , montrer :
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VAUDE Femme Aresa VTT Chaussures TR de Indication : considérer les parties fractionnaires de et la partition de
Exercice 463 Montrer que l'ensemble des nombres dyadiques :
est dense dans .
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Arnaud Bodin 2004-06-24